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Gabriele Bernagozzi
Ph.D Geol. G. Bernagozzi

La formula di Hazen

La formula di Hazen [494, 514] è una relazione sperimentale che lega la permeabilità di un terreno alla granulometria ed è ampiamente documentata in numerose pubblicazioni di idrogeologia. A titolo di esempio si trova citata in [220, 230, 232, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 467, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 480, 481, 482, 484, 485] e in molti altri testi.
Il principio su cui si basa è illustrato in [465]. In un terreno l'acqua di filtrazione si muove attraverso i pori presenti fra i vari granuli seguendo un percorso tortuoso attraverso spazi a volte più ampi e a volte più angusti e, a parità di porosità del terreno, la sezione media di questi spazi vuoti aumenta all'aumentare della granulometria. Prendendo come riferimento una ghiaia e una sabbia pulita, in entrambi i casi l'acqua nel moto di filtrazione dovrà attraversare spazi a volte più ampi e a volte più stretti ma nella ghiaia questi spazi saranno statisticamente molto più ampi rispetto agli analoghi spazi presenti nella sabbia. Visto che le sezioni di queste cavità in cui scorre l'acqua di filtrazione aumentano proporzionalmente al quadrato del diametro delle particelle solide di terreno e visto che per un terreno granulare la permeabilità tende ad essere proporzionale alla sezione degli spazi vuoti, è possibile ricavare una relazione del tipo

k proporzionale a D quadro

che consente di esprimere la permeabilità in funzione del quadrato della dimensione dei granuli del terreno.
Visto che un terreno naturale non è mai monogranulare, sono stati eseguiti una serie di tentativi per verificare quale frazione del terreno consentiva di ottenere la migliore correlazione con la permeabilità. Il valore indicato da Hazen è il D10, cioè la “larghezza della maglia del setaccio che permette il passaggio del 10% in peso del campione di materiale granulare” [461]. Si ottiene pertanto la relazione

Formula di Hazen 1

comunemente indicata come formula di Hazen.

Il valore della costante di proporzionalità C

Una delle principali fonti di incertezza nell'applicazione della formula di Hazen risiede nella corretta scelta del valore da attribuire alla costante di proporzionalità C e in bibliografia l'indicazione non è univoca. Vista l'ampia diffusione di questa formula molti autori hanno eseguito correlazioni e, in funzione delle caratteristiche dei campioni utilizzati, sono stati ottenuti diversi valori della costante di proporzionalità. Il grafico di figura 1 indica i valori massimo e minimo della costante C suggeriti da una serie di autori. Trattandosi infatti di una relazione sperimentale, i principali autori piuttosto che riportare un valore preciso per la costante C hanno preferito indicare una fascia di riferimento.

Formula di Hazen, valori di C

Fig. 1 – Valori della costante C se k è espresso in metri/sec e D10 è espresso in millimetri. Nell'asse verticale sono indicati i riferimenti bibliografici da cui sono state estratte le informazioni. Alcuni autori hanno fornito valori di C variabili in funzione della granulometria e dell'addensamento del terreno. In questo caso a fianco del riferimento bibliografico è stato posto un asterisco. In [491] viene riportata per C una fascia di variabilità da 0,01 a 0,1. Il valore 0,1 non è stato riprodotto nel grafico per non dilatare eccessivamente l'asse orizzontale. Nel grafico in colore blu scuro sono indicati i dati ricavati da [459].

Visto che k ha le dimensioni di una velocità [LT-1] e (D10)2 ha le dimensioni di una superficie [L2], la costante C non è un numero puro ma ha le dimensioni [L-1T-1]. Per questa ragione per poter eseguire un confronto i dati estratti dalle varie pubblicazioni sono stati convertiti in modo che il coefficiente di permeabilità k fosse sempre espresso in m/sec e il diametro D10 in mm.
Dal grafico emerge una ampia distribuzione dei valori di C e questo elemento rappresenta la maggiore fonte di incertezza nell'utilizzo della formula di Hazen per la determinazione della permeabilità. In mancanza di elementi che conducano ad una scelta differente, in bibliografia si suggerisce generalmente di considerare C=0,01.
Alcuni autori suggeriscono di modificare il valore di C in funzione dell'addensamento e dell'assortimento del terreno esaminato. Ad esempio [471] e [473] suggeriscono di usare 0,01 per terreni addensati e 0,015 per terreni poco addensati, [484] suggerisce di usare valori da 0,005 per silt e sabbie ben gradate a 0,012 per sabbie uniformi, [220] suggerisce di usare C = 0,0046 per le sabbie argillose e C = 0,014 per le sabbie pulite e infine [485] indica 0,0093 < C < 0,014 per sabbie pulite e omogenee e 0,0046 < C < 0,0093 per sabbie argillose o sabbie non omogenee.

Il campo di applicabilità dell'equazione di Hazen

L'equazione di Hazen è applicabile a terreni granulari sciolti con D10 variabile da 0,1 mm a 3 mm e con coefficiente di uniformità CU < 5 [467, 475, 476, 485, 477, 479] . Il coefficiente di uniformità CU è definito dalla relazione

Coefficiente di uniformità Cu

dove D60 rappresenta la larghezza della maglia del setaccio che permette il passaggio del 60% in peso del campione di materiale granulare. Una precisazione ulteriore viene fornita da [482] che indica che il passante al setaccio 0.075 mm dovrebbe essere < 5%.
In [463] vengono indicate condizioni più restrittive con CU < 2 e 0,10 mm < D10 < 0,70 mm.

Correzione della permeabilità in funzione della temperatura dell'acqua

La formula di Hazen prevede la possibilità di correggere la permeabilità in funzione della temperatura [459, 472, 485]. Nella sua versione completa la formula risulta infatti:

Correzione hazen in funzione della temperatura acqua

dove T rappresenta la temperatura dell'acqua in gradi centigradi. Visto che il livello di indeterminatezza insito nella scelta di C induce un errore molto superiore all'errore dovuto alla correzione in funzione della temperatura, il termine (0,70 + 0,30T) viene omesso dalla maggior parte degli autori.

Considerazioni conclusive

La formula di Hazen consente di ricavare un valore approssimato di permeabilità in funzione del valore di D10.
La relazione è del tipo:

Formula di Hazen 2

e risulta applicabile in terreni granulari sciolti se 0,1 mm < D10 < 3 mm e se CU < 5. Se k è espresso in metri/sec e D10 è espresso in mm, in mancanza di ulteriori informazioni si può assumere C = 0,01.

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Il mio stato  Gabriele Bernagozzi

Autore: G. Bernagozzi
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Bibliografia della scheda

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230: Peck R.B., Terzaghi K. (1974): Geotecnica. UTET (Torino), pp 1-643 - ISBN 88-02-03010-3

232: Colleselli F., Colombo P. (1996): Elementi di Geotecnica. Zanichelli (Bologna), pp 1-500 - ISBN 88-08-09784-6

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